北理工張軍勇特別研究員在《Mathematische Zeitschrift》上發表含反平方位勢薛定諤算子的研究成果
發布日期：2018-11-27 供稿：數學與統計學院
編輯：吳一凡 審核：田玉斌 閱讀次數：
日前，北京理工大學數學與統計學院張軍勇特別研究員與及其合作者在國際數學頂級學術期刊《Mathematische Zeitschrift》上發表了題為“Sobolev spaces adapted to the Schr?dinger operator with inverse-square potential”的研究論文。該論文通過建立含反平方位勢薛定諤算子所對應的Littlewood-Paley 理論、乘子定理、Hardy 不等式等調和分析工具，證明了含反平方位勢薛定諤算子在L^p框架下的Sobolev空間與經典的Sobolev空間的等價性。
含反平方位勢薛定諤算子的研究興趣主要來源于數學和物理兩方面。在物理上，該算子同含庫倫位勢的狄拉克方程、以及Schwarzschild和Reissner-Nordstr?m黑洞中度量的擾動的研究緊密聯系。在數學方面，反平方位勢與拉普拉斯算子具有相同的伸縮不變性，含反平方位勢薛定諤算子在很多理論研究中引起眾多學者的研究。 算子的譜理論和調和分析工具是研究該算子所對應描述物理現象方程的核心工具，因此該研究成果為后續研究波的奇性傳播奠定了基礎，例如黑洞中波的傳播。
張軍勇特別研究員及其合作者的上述論文在充分考慮反平方位勢的影響下證明了通過含反平方位勢薛定諤算子所定義的Sobolev空間與拉普拉斯算子所定義的Sobolev空間范數模等價，但在L^p框架下p的范圍受到了反平方位勢的嚴重影響。除此之外，張軍勇特別研究員在關于反平方位勢薛定諤算子和色散方程方面開展了一系列研究。在本論文完成之前，與合作者在 [J. Funct. Anal. 267(2014), 2907-2932]研究了歐氏空間中含反平方位勢能量次臨界非線性薛定諤方程解的整體適定性理論和散射理論，這個結果是滿足伸縮變換不變，但不滿足平移不變的非線性色散方程模型的首個散射理論。 受這個結果啟發，進一步獲得本論文的研究結果。
這一原創性成果進一步增進了人們對于奇性位勢在薛定諤算子和方程中解長時間行為這一核心問題的理解，該項工作中研究Sobolev范數等價性的方法適用于一般滿足熱核估計算子，該結果同時也是研究該類非線性色散方程的重要工具。
張軍勇研究員的系列研究工作是與北京應用物理與計算數學研究所苗長興研究員和鄭繼強博士以及加州大學洛杉磯分校R.Killip 和M.Visan教授合作完成，本項工作得到國家自然科學基金的資助。
論文鏈接地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-017-1934-8
【團隊及個人簡介】
北理工數學與統計學院《微分方程理論及其應用》團隊積極開展國際交流與合作，團隊骨干成員張軍勇特別研究員獲得Marie Sk?odowska-Curie Fellowship，正在英國Cardiff University開展學術交流與合作研究；團隊成員特別副研究員王博正在美國羅格斯大學與李巖巖教授（獲Alfred P. Sloan數學獎，國際數學家大會45分鐘報告人，Fellows of the AMS）開展學術交流與合作，團隊成員邊東芬特別副研究員正在與美國布朗大學應用數學系主任郭巖教授（Fellows of the AMS）開展合作研究，楊建偉特別副研究員即將赴法國Universite Paris 13大學與Frank Merle 教授（獲B?cher Memorial Prize）團隊開展合作研究。團隊成員分別開展著偏微分方程與分析、幾何、流體力學的交叉研究，表現出強勁的發展活力和潛力。
張軍勇，特別研究員，博士生導師，北理工數學與統計學院。本科畢業于蘭州大學、博士畢業于中國工程物理研究院。曾在澳大利亞國立大學博士后和美國斯坦福大學訪問學者。榮獲歐盟以兩次諾貝爾獎獲得者居里夫人命名的Marie Sk?odowska-Curie Fellowship。長期從事調和分析和偏微分方程的研究工作，主持并完成國家自然科學基金面上項目、青年項目。 在Advances in Mathematics、 Mathematische Zeitschrift、Communication in PDE、 Analysis PDE、Journal of Functional Analysis等期刊發表SCI論文20余篇。
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